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像數學家一樣思考:26堂超有料大腦衝浪課,Step by Step揭開數學家的思考地圖

Think Like a Mathematician

出版品牌:大牌出版

作者:安.魯尼 Anne Rooney

譯者:李祐寧

ISBN:9789865511210

出版日期:2020-06-03

定價:NT$  380

優惠價:79NT$300

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內容簡介 |

寫程式跑模型回測歷史

數學,原來可以用來做這些學校不會教的事!

像是幫助你逃出荒島、操控演算法、在金融市場上賺大錢……

26堂讓文科生也著迷的大腦衝浪課

只要懂這些科普知識,你就很迷人!

 

在現實世界中,我們所有的商業活動皆是構築在數字之上,

而在網路世界裡,電腦語言更是24小時不間斷的根據數字在運作。

這本書將透過一個個看似「理所當然」的生活知識,

為讀者揭開一幅「數學家的思考地圖」,

告訴你:數學怎麼讓我們避免犯錯、戰勝機率,甚至是躲過死亡風險……

 

什麼是新世代必備的核心【數養】?

相較於以理解數學本質為目標的「純數學」,本書所出現的數學,皆屬於「應用數學」的範疇──你可以透過邏輯思考,將之用於解決真實世界(或人生中)的問題,像是計算一筆貸款的利息、測量時間與距離,或是趕在瘟疫大流行之前算出你的自保之道:

 

˜ 誰規定10代表的一定比9還要多?

˜ 外星人距離我們有多遠?

˜ 媒體上的統計數字是怎麼操弄我們的?

˜ 數據與事實之間究竟存在因果?或只是巧合?

˜ 該如何測量一個星球到底有多大?

˜ 該如何測量那些難以量化的事物?

˜ 該如何從資訊海中撈出正確答案?

˜ 該如何讓機率站在你的那一邊?

˜ 你的下一步,值得冒這個險嗎?

 

別忘了,數學可以同時為光明或邪惡的目的所用──數字可以用於闡述、解釋或釐清事實,卻也可以用於欺騙、擾亂或混淆人心。倘若無法理解上述這些數學性的資訊,我們將有極大的機率被欺騙或誤導──或單純地錯失某些事物。

 

為什麼你要像數學家一樣【思考】?

在數學家的世界裡,「提出問題很簡單,回答問題卻很困難」,因為你必須學會綜觀全局,透過層層推導的邏輯假設,最後才能展示出一個堅若磐石的「證明」。這與透過直覺或經驗法則來做決策截然不同。

 

至今那些最成功的企業家、領導者,甚至政治人物,無不擁有一顆數學腦,他們熟知天地萬物如同「費波那契數列」(第二十三章)般自有其生存之道;歷史會如同「等距映射」理論(第十三章)般重複上演;而意外也會如同「黑天鵝效應」(第十章)般必然發生。

 

《像數學家一樣思考》的作者安.魯尼指出,作為一個超級好用的思考工具,「數學」將提供我們一套理解周圍萬物的方法,讓我們為各種現象建立模型和進行預測。對學生族群而言,本書將提供迥異於教科書上,逸趣橫生的數學應用方式;而對於已進入社會、各行各業的讀者而言,本書也將帶來發人深省的嶄新觀點,你將擁有全新視野,重新看待過去難解的生活謎題。

作者簡介 |

安.魯尼

劍橋大學三一學院博士,專研中世紀文學。她曾經研究並教授中世紀的英國和法國文學,現為專職寫作者,和一群動物與女兒們定居劍橋。她為幼小的孩童寫輕鬆易懂的書、為年長一點的孩子寫篇幅稍長的書,也為大人們寫任何形式和篇幅長短不拘的書籍。著有《像數學家一樣思考》、《像哲學家一樣思考》、《像經濟學家一樣思考》等膾炙人口的暢銷書。

譯者簡介 |

李祐寧

畢業於政治大學新聞系,旅居海外,目前從事專職翻譯工作。譯作包含《甜與權力》、《行為投資金律》、《自私的藝術》、《波克夏大學》、《金融投機史》、《華爾街孤狼巴魯克》、《異常流行幻象與群眾瘋狂》、《跳痛的愛》等。

目錄 |

INTRODUCTION前言

說真的,數學到底是什麼?

在處理資料和知識上,有兩種根本上不同的方法。一是從觀察出發、二是從思考出發,所謂的數學,也是如此。

 

Chapter1

數學是被創造的?還是被發現的?

數學怎麼可能「編」得出來呢?還是其實可以?但正如同我們無法說「樹」這個字,對樹本身來說是錯誤的一樣……

 

Chapter2

為什麼我們需要數字的幫忙?

早在人類社會發展初期,就已經掌握了數字。你還記得自己是從什麼時候開始,會12345……自言自語地數數嗎?

 

Chapter3

數字會不會有「不夠用」的一天?

並不是每一種數字系統,都可以無窮盡地延展下去。但很多時候,這取決於我們(或其他會數數的動物)對無限的想像。

 

Chapter4

誰規定10代表的一定比9還要多?

我們之所以發展出「十進位」的數字系統,或許是因為我們擁有十根手指頭和腳指頭,讓數到十最容易。但如果是外星人呢?

 

Chapter5

為什麼最簡單的問題反而最難回答?

對數學家來說,提出一個問題很簡單,但回答一個問題卻無比困難,因為你必須提出堅若磐石的「證明」來說服他們。

 

Chapter6

巴比倫人為你每天的吃喝拉撒做了什麼?

你幾點鐘起床?在手錶指針呈現哪個角度時出門?你的星座是什麼?我們日常生活中的某些發明,其由來遠比你猜測得還要古老……

 

Chapter7

肉眼能看見的「天文數字」有多大呢?

一般來說,所有的數字都有其用處,但某些數字實在是大到難以實際操作。對某些數學家而言,「數字的盡頭」始終是一個迷人的疑問。

 

Chapter8

天長地久有時盡?「無窮」可以被量化嗎?

所謂的「宇宙」,可以容納無窮無盡的事物嗎?倘若那些超級無敵霹靂大的數字根本一點用處都沒有,那麼「無窮」又有多少用處呢?

 

Chapter9

媒體上的統計數字是怎麼操弄我們的?

小心,眼見不一定為真!很多時候,所謂的「統計數字」不過是一個糟糕的謊言,如果你知道如何正確解讀這些數字的話。

 

Chapter10

數據與事實之間究竟存在因果?或只是巧合?

調查報告與財務報表上頭所顯示的數字真的重要嗎?數字真的能展示出它所宣稱的內容嗎?或者只是風馬牛不相及的巧合而已?

 

Chapter11

該如何測量一個星球到底有多大?

假如你突然發現:自己被困在另一個星球上,此時該怎麼辦?你能設法釐清這個星球有多大,然後制定逃生計畫嗎?

 

Chapter12

從倫敦到洛杉磯最快的方法是?

也許你會打開Google Map來尋找靈感,毫無疑問的,從A 點到B 點的最短路徑自然是一直線──但你確定這真的是一條直線嗎?

 

Chapter13

壁紙目錄裡頭隱藏的驚人祕密!

當我們裝潢新家時,看著琳琅滿目的壁紙或磁磚目錄並想著「樣式還真多啊」,確實相當合情合理,但數學家看到的可並非如此……

 

Chapter14

該如何判斷與預測答案的正確性?

嬰兒應該有多重?紅尾蚺應該有多長?人們多久會去一次超市?這些問題通通可以透過平均值的計算建立模型,並找到答案!

 

Chapter15

該如何測量那些難以量化的事物?

並非所有事物都可靠「數數」來解決,當我們想知道一片沙灘上究竟有多少粒沙子,或一粒沙中有多少原子?此時就需要用到一把特殊的尺……

 

Chapter16

該如何從資訊海中撈出正確答案?

我們不會用「公釐」來測量鯨魚的長度,或用「公里」來測量原子的大小。像是民調這類的海量資訊時,想求得正確答案就必須使用正確的工具。

 

Chapter17

你該擔心一場席捲全球的瘟疫嗎?

聖經《啟示錄》中所述的四騎士─—瘟疫、戰爭、饑荒和死亡,每個世紀至少會重演一次。大流行病真的很可怕,而數學,可以幫助我們嗎?

 

Chapter18

外星人在哪裡?

想當然爾,我們絕對不會是宇宙中唯一的智慧生物體,外星人距離我們有多遠?這個問題或許只有數學可以回答。

 

Chapter19

質數有什麼一定要知道的祕密?

質數的用途遠比你所想到的還更多──或許你壓根兒都不會想到,數位時代所有的網路交易,都是一群黑壓壓的質數大軍幫你完成的。

 

Chapter20

該如何讓機率站在你的那一邊?

每一天,我們都必須和機率(亦稱之為「機會」或「風險」)交手,有時甚至是在我們渾然未覺的情況下,機率就已為我們的人生做出決定。

 

Chapter21

你的生日是哪一天?

你相信嗎?在一個有三十人的房間裡,其中兩個人的生日,有極大的機率(遠超過一半)會是在同一天……

 

Chapter22

你的下一步,值得冒這個險嗎?

諾貝爾文學獎得主T.S.艾略特說:「只有那些冒險走到更遠的人,才能知道自己可以走多遠。」但在數學上,你還需要知道更多。

 

Chapter23

大自然懂得多少數學呢?

你相信大自然也會數數嗎?事實上,生活在自然界的各種動植物,或許早在人類出現之前,就已熟稔繁衍後代的數學法則。

 

Chapter24

什麼是讓藝術家也瘋狂的完美形狀?

放眼觀察大自然,我們可以見到許多奇形怪狀的形體──以及某些相較之下,非常優美的形狀,而這竟然也是出自數學的傑作。

 

Chapter25

數字已經逐漸失控了嗎?

數字成長的速度可以是相當驚人的。愛因斯坦說:「複利的威力遠大於原子彈。」但這可並非只是對於你的銀行存款而言。

 

Chapter26

我究竟喝了多少酒?

某一樣極為重要的數學計算工具──斜率,其實是一位非常在乎「自己到底喝到多少酒」的德國人所發明的。

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書摘 |

Chapter9

媒體上的統計數字是怎麼操弄我們的?

 

(小心,眼見不一定為真!很多時候,所謂的「統計數字」不過是一個糟糕的謊言,如果你知道如何正確解讀這些數字的話。)

 

媒體上,各種統計數字滿天飛,而這些統計也經常以企圖說服我們接受某一特定觀點的角度來呈現。要想避免被操控,我們不僅需要去理解統計背後的真實意義,還需要了解我們對數字的感受。而這其中牽涉到了同等份量的數學與心理學。

 

審視統計的各種方法

同樣的數字,有千百種表達方式,而不同的方式也會導致我們有不一樣的反應。記者、廣告商及政治人物會以特定方法來呈現數字,企圖刺激我們,讓我們以某種角度來解讀資訊。

同一件事,有下列這麼多種表達方法:

 

˜ 5分之1

˜ 0.2的機率

˜ 20%的機會

˜ 10個中的2

˜ 5:1的發生比

˜ 50分之10

˜ 100個之中的20

˜ 100萬中的20

 

即便如此,我們對這些數字的反應卻大不相同。最後一項──100萬中的20萬,聽起來更令人印象深刻,因為我們看見了一個龐大的數字。「100個之中的20個」確實比「10個裡頭的2個」更令人印象深刻,因為我們認為2不過是一個小數字。這是一種擁有相當多證據的發現,被稱之為「比率偏差」Ratio bias)。此種現象甚至會讓人們選擇獲勝機率較小的事物。

下面的實驗,完美地展示了何謂比率偏差。受試者會看到兩個分別裝著不同玻璃珠的碗:

 

˜ 有十個玻璃珠,九個白色,一個紅色

˜ 有一百個玻璃珠,九十二個白色,八個紅色

 

受試者被告知,他們必須在眼睛矇起來的情況下,挑出紅色的玻璃珠。而為了提高自己摸中紅色珠子的機率,他們應該選擇哪個碗?

在此一測驗中,有53%的受試者選擇了100顆珠子的碗。

這是錯誤的選擇:從第一個碗中摸中紅色珠子的機率為10%(100分之1010分之1),而第二個碗的機率卻僅有8%(100分之8)。

第二個碗裡有更多紅色珠子的情況,讓受試者誤以為選中紅色珠子的機率比較高,而這樣的念頭迷惑了部分受試者。他們完全忽視了在這樣的情況下,他們也有更高(且不成比例地多)的機率,選中白色珠子。從第二個碗裡挑中紅色珠子的機率,低於從第一個碗裡挑出紅色珠子的機率。結果顯示,有一半的受試者不知道該如何將自己選中紅色珠子的機率最大化。

 

大數字更能震撼人心

人們認為大數字遠比小數字來得重要。

科學家將樣本受試者分為兩派,並請受試者來評估癌症對健康造成威脅的嚴重程度。與那些被告知每一天有100人死於癌症的受試者相比,被告知每一年有36,500人死於癌症的受試者,更傾向於認為癌症的風險很高。

在另一項研究中,被告知每一萬人裡會有1,286人死於癌症的受試者,對癌症的擔憂程度,明顯高於那些被告知在一百人之中會有24人死於癌症者(儘管後者的機率近乎高於前者兩倍──24%比上12.9%)。

這樣的偏差,會導致人們做出危險的選擇。在被詢問到他們是否願意接受某項具有已知死亡風險的治療時,人們的答案往往會視數據被呈現的方式,而受到左右。

如果用一百人為單位來表示過去患者的死亡率,受試者願意接受的風險程度往往更高(與以一千人為單位所呈現的死亡率相比)。在前者的情況下,潛在病患願意接受的死亡率可以高達37.1%,而後者卻只有17.6%。

較大的數目(17637)蒙蔽了他們,讓他們避開了程度較低的風險。

 

千萬不要刨根究柢!

在被詢問到哪一個分數比較大時,人們傾向於只拿分子(位於分數上方的數字)做比較,並忽視分母(下方的數字)。這也是為什麼讓人們在挑選玻璃珠時,更傾向於選擇8/100,而不是1/10。對整體數字的徹底忽視,就稱為「分母的忽略」Denominator neglect

具有商業頭腦的你,可以好好善用此種情況。假設你正在一場餐會上為某個慈善單位募款,而你希望說服人們用金錢來換取贏得遊戲的機會。那麼,你可以善用對分母的忽略或比率偏差,來誘使人們去玩那些儘管看上去更容易獲勝、實質上獲勝機率較低的遊戲。比起「每十個人之中,就有一人能贏得獎金」的標語,「每一百人之中,就有八人能中獎!」的標語絕對能吸引到更多人參加。(『!』的增添與數學無關,但其具有的驚訝與激動語氣,確實能對讀者產生影響。)

 

那些沒說的事?

記者、廣告商和政治人物操控我們想法的另一種手段,就是透過深思熟慮的選擇與措辭。不妨試著翻轉那些夾雜著數字的句子,窺探其背後的真正意義:

 

˜ 在此政府的管理下,有30%的人過得更糟=與上一屆政府相比,有至少70%的人擁有跟過去一樣的生活水平。

˜ 有四分之一的筆電會在二十四個月內壞掉=有四分之三的筆電在二十四個月後,仍能良好地運作。

˜ 每五十位居民之中,有三十位能活到超過七十歲=有40%的居民會在七十歲前離世。

 

透過聚焦於數學性數據的某一面,數據提供者能誘使我們以正面、或負面的態度去思考。而他們也可以透過讓我們更難去聯想事情另一面的陳述方法,來強化此一效果。假如最後一個例子──「每五十位居民之中,有三十位能活到超過七十歲」,改以「有60%的居民能活超過七十歲」來呈現,我們或許就會稍微聯想到這意味著還有40%的居民,在活到此一年齡前,就已經過世。但三十看上去更多,且我們還必須在心裡換算一下(50-30,再將20轉換成百分比),才能得到此一陳述的真貌。

 

尋找背景脈絡

另一個把戲,則是孤立統計數據。缺乏背景脈絡的數字不具有意義。倘若我們聽到某間學校裡有二十名學生因為濫用藥物而被停學,我們一定會覺得事情相當嚴重。但與擁有兩千名學生的學校相比,擁有八百名學生的學校發生此事,情況絕對比較嚴重。假設兩千名學生中有二十名學生濫用藥物,就意味著有99%的學生並沒有濫用藥物。儘管如此,這樣的句子可成不了新聞頭條。

「有百萬分之一的機率……」在媒體上我們經常可以看到人們用這樣的句子,來表達機率極低的事。嚴格來說,在特定情況下此機率確實極低,但倘若分母數非常龐大,那麼這樣的機率就不能說是不可能。假設出現白化症非洲象的機率為一百萬分之一,那麼當我們去非洲玩時,我們大概不可能看到這樣的大象。倘若螞蟻出現白化症的機率也是一百萬分之一,那麼當我們將一個蟻窩翻過來卻沒有看到任何一隻白化症的螞蟻時,就會讓人有點驚訝。

 

蘋果與橘子

倘若以不同的方式來呈現統計數字,讀者就會很難將兩者進行比較。媒體報導經常使用此招──很有可能是為了混淆我們,但更有可能只是因為記者認為這樣讀起來更豐富。將來源不同的資訊進行比較時,經常會遇到這樣的情況,但這樣的處理未免過於粗糙──記者應該試著讓資訊可以比較。

舉例來說,我們很難理解報導中所提到的:十個人之中就有兩人可以透過充分的運動,來降低30%罹患心臟疾病的風險,而有另外三分之一的人,可以透過充分的運動減少15%罹患心臟疾病的風險。這段話讓我們必須以三種角度來思考數字:十人中的兩人、分數與百分比。倘若我們將數字全部轉換成百分比,讀起來就輕鬆多了:充分運動能讓20%的人降低罹病機率30%,讓33%的人降低罹病機率15%。這句話同時也能讓人得知有47%的人,未能保持充分運動:100-(20+33)=100-53=47

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詳細資料 |

書籍代號:0KFD0037

商品條碼EAN:9789865511210

ISBN:9789865511210

印刷:單色

頁數:288

裝訂:平裝

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